Teorema di campionamento shannon

Teorema di campionamento Shannon. Sia $f\in L^{1}(\mathbb{R})\bigcap L^{2}(\mathbb{R})$ t.c. esiste $T>0$ t.c. $supp\widehat{f}\subseteq[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$. Allora

$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{f(\frac{2\pi}{T}k)sinc(\frac{T}{2}(t-\frac{2\pi}{T}k))}$$ (4.1)

dove

$$sinc(t)=\frac{\sin t}{t}$$ (4.2)

Dimostrazione:
Facciamo il prolungamento periodico di $\widehat{f}$ convolvendola con $Comb_{T}$ otteniamo

$$(\widehat{f}\star Comb_{T})(\xi)=\sum_{k-\infty}^{\infty}{\widehat{f}(\xi-kT)}\overbrace{=}^{notazione}\widehat{Y(\xi)}$$

Che è una distribuzione temperata, per cui può essere vista come trasformata di Fourier di (con $F^{-1}$ indico l'inversa della trasformata)

$$F^{-1}({\widehat{f}\star Comb_{T}})\overbrace{=}^{teorema-di- convoluzione}f(t)\cdot \check{Comb_{T}}(t)=Y(t)$$

E per le proprietà (2.10) di $Comb$ otteniamo

$$Y(t)=f(t)\cdot \frac{2\pi}{T}\check{Comb_{\frac{2\pi}{T}}(t)}$$

e per la definizione di $Comb$

$$Y(t)=\frac{2\pi}{T}f(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\delta(t-\frac{2\pi}{T}k)}= \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}{f(t-\frac{2\pi}{T}k)}$$

Questa funzione $Y$ è quella che è responsabile dell'aliasing. Se torniamo alla trasformata della funzione campionata, ora che le ipotesi sul supporto di $\widehat{f}$ ci garantiscono che nella sua periodizzazione non ci sono sovrapposizioni, possiamo moltiplicare tale periodizzazione $\widehat{f_{s}}$ per una la funzione caratteristica $\aleph_{[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]}$ in modo da ottenere

$$\widehat{f}(\xi)=\widehat{Y}(\xi)\aleph_{[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]}(\xi)$$

per cui, per il teorema (2.13) di convoluzione

$$f(t)=\check{(\widehat{Y}\aleph_{[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]})}(t)= (Y\star \check{\aleph_{[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]}})(t)=$$

$$\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}{f(\frac{2\pi}{T}k)\delta(t-\frac{2\pi}{T}k)}\star \frac{T}{2\pi}sinc(\frac{T}{2}t)$$

sviluppando il prodotto ci convoluzione si ottiene la tesi

$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{f(\frac{2\pi}{T}k)sinc(\frac{T}{2}(t-\frac{2\pi}{T}k))}$$