Aliasing

Esempi di Aliasing

L'aliasing è un fenomeno strettamente legato al processo di campionamento, e si può comprendere ragionando in termini di trasformata di Fourier dell'immagine campionata $f_{s}$. Ulteriori esempi di immagini in cui si possono osservare fenomeni di aliasing li potete trovare nei libri e nei siti web indicati in bibliografia. Un esempio sicuramente noto a tutti e quello che si può osservare quando un personaggio della televisione indossa una maglia a quadretti o striscie molto fitte si vede una strana trama nel disegno della maglia. Il punto è che campionando in maniera non adeguata l'immagine poi ricostruita pò apparire alterata. Se dobbiamo ad esempio campionare $\sin{x}$ e lo facciamo con passo $2\pi$ otterremo addirittura una funzione costante, quindi una cosa che non c'era nella funzione iniziale, abbiamo quindi un fenomeno di aliasing. Campionando la stessa funzione con un altro passo potremmo ottenere una funzione periodica ma di frequenza molto più bassa. Qui non si tratta solo di perdere informazioni, ma di generare, nelle immagini acquisite, "oggetti" che non erano presenti nell'immagine originale.
Il processo precedentemente introdotto di passaggio alle trasformate di Fourier viene chiamato "Fourier Analysis", e ci pò aiutare a capire meglio il problema dell'aliasing. Dal confronto tra la trasformata $\widehat{f}$ dell'immagine originale, e la trasformata $\widehat{f_{s}}$ del suo campionamento abbiamo visto che la seconda è una sommatoria infinita di copie traslate della prima; in sostanza $\widehat{f_{s}}$ è una periodizzazione di $\widehat{f}$. Ora, se il supporto di $\widehat{f}$ ha ampiezza minore del periodo di $\widehat{f_{s}}$, tutto va bene, in quanto basta moltiplicare $\widehat{f_{s}}$ per un'apposita funzione a gradini e troviamo $\widehat{f}$, quindi ricaviamo $f$.
Se invece il supporto di $\widehat{f}$ non è adeguatamente limitato accade che le copie traslate si sovrappongono, per cui non è più possibile ricostruire la funzione originale $f$, a partire da $\widehat{f_{s}}$.
Ora, poichè il periodo di $\widehat{f_{s}}$ è strettamente in relazione con la frequenza di campionamento, appare lecito che sotto le adeguate ipotesi, si possa scegliere la frequenza di campionamento in maniera da poter ricostruire $f$ a partire da $f_{s}$. A questo proposito ci viene in aiuto il Teorema di Shannon.