Il campionamento

Come abbiamo già detto campionare (ing. ``sampling'') un'immagine significa prenderne dei campioni, offero significa valutare $f(x_{n})$ per una successione $\{x_{n}\}$ di valori del dominio di partenza.

Ragionando in termini teorici si potrebbe tranquillamente trattare di una successione infinata di valori.
Supponiamo ora di avere scelto di campionare la nostra immagine (monodimensionale per semplicità di trattazione) con un passo $T$, questo significa che dalla successione $\{nT\}_{n=-\infty...\infty}$ otteniamo la successione $\{f(nT)\}$. Questa operazione, matematicamente possiamo vederla come la moltiplicazione della funzione $f$ per la distribuzione $Comb_{T}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta_{nT}}$, quindi indicando con $f_{s}$ il campionamento di $f$ possiamo scrivere:

$$f_{s}(t)=f(t)\cdot Comb_{T}=f(t)\cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta (t-nT)}$$

da cui

$$f_{s}(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}{f(nt)\delta (t-nT)}.$$

Purtroppo nella letteratura che ho trovato sulle questioni di elaborazione immagini questa scrittura non viene chiarita bene, a mio avviso si può interpretare $f_{s}$ come una distribuzione in quanto prodotto di una funzione $f$ (con le dovute ipotesi di integrabilità ) per una distribuzione $Comb_{T}$; in effetti vale:

$$<f_{s},v>=<f\cdot Comb_{T},v>\overbrace{=}^{def.}<Comb_{T},f\cdot v>=$$

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}{f(nt)v(nt)}$$

tale serie converge in quanto $v$, come funzione test, ha supporto compatto. Interpretare $f_{s}$ come prodotto ci servirà più avanti, tuttavia, dalla letteratura, non è chiaro se l'interpretazione che ho appena dato sia quella giusta.
Il rapporto tra $f_{s}$ ed $f$ sarà l'argomento centrale di questo seminario in quanto il problema fondamentale sarà ricorstruire $f$ a partire da $f_{s}$. Per affrontare tale questione ci sarà d'aiuto una proprietà della trasformata di Fourier rispetto al prodotto di convoluzione.
Convoluzione tra distribuzioni. Date due distribuzioni $f,g$ con $f$ a supporto limitato, allora, per ogni funzione test $\phi$

$$<f\star g,\phi>=<f(t),<g(\tau),\lambda (t,\tau)\phi(t+\tau)>$$ (2.1)

dove $\lambda$ è una funzione test che vale 1 sul supporto di $\phi$.
N.b.: Questa definizione, come quasi tutte quelle relative alle distribuzioni, si ottiene estendendo una proprietà della convoluzione sulle funzioni. Inoltre l'ipotesi che le due distribuzioni abbiano supporto compatto è sovrabbondante, basta che una sola verifichi tale proprietà per poter dare la definizione. Infine, osserviamo che la convoluzione tra due distribuzioni temperate è ancora temperata.
Trasformata di fourier di una funzione. Sia $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$ la sua trasformata $\widehat{f}$ di Fourier è data da:

$$\widehat{u}(\xi)=\int_{Real^{n}}{e^{-i\xi\cdot x}u(x)dx},\qquad\xi\in\mathbb{R}^{n}$$ (2.2)

In particolare si ha che

$$\int_{\mathbb{R}^{n}}u(x)dx=\widehat{u}(0).$$ (2.3)

Nell'immagine mostriamo un esempio di trasformata.

Formula di inversione. Sia $\in L^{1}(\vert Real^{n})$ una funzione continua e limitata t.c. $\widehat{u}\in L^{1}(\mathbb{R}^{n}$. Allora per ogni $x\in\mathbb{R}^{n}$ vale:

$$u(x)=(2\pi)^{-n}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\xi\cdot x}\widehat{u}(\xi)d\xi}$$ (2.4)

da cui si scrive

$$\check{v}(x)=(F^{-1}v)(x)=(2\pi)^{-n}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\xi\cdot x}v(\xi)d\xi}$$ (2.5)

Trasformata di fourier di una distribuzione. Data una distribuzione temperata $f$, allora $F(f)\widehat{f}$ è ancora una distribuzione temperata ed è data da:

$$<\widehat{f},\phi>=<f,\widehat{\phi}>$$ (2.6)

Vale la formula di inversione:

$$<\check{f},\phi>=<f,\check{\phi}>$$ (2.7)

Da cui abbiamo $F^{-1}Ff=f$ e $FF^{-1}f=f$, per cui la trasformata è bigettiva sullo spazio delle distribuzioni temperate.
Alcune trasformate che ci saranno utili

$$\widehat{\delta}=1$$ (2.8)

$$\widehat{\delta_{T}}=e^{-i\omega T}$$ (2.9)

$$\widehat{Comb_{T}}=\frac{2\pi}{T}\cdot Comb_{\frac{2\pi}{T}}$$ (2.10)

dove

$$Comb_{T}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\delta(t-kT)}$$ (2.11)

Notiamo che $Comb_{T}(t)$ è una distribuzione temperata. Nella seguente immagina è possibile vedere la funzione Comb e la sua trafrormata di Fourier (a destra).
Teorema di convoluzione. Siano $f$ e $g$ distribuzioni a supporto limitato, allora

$$\widehat{f\star g}=\widehat{f}\cdot \widehat{g}$$ (2.12)

Inoltre si ha che

$$\check{f\star g}=\check{f}\cdot \check{g}$$ (2.13)

Il teorema appena enunciato ha una pesante conseguenza sull'analisi delle immagini digitalizzate. Torniamo alla questione del campionamento, ed applichiamo il teorema per calcolare la trasformata di Fourier di $f_{s}$:

$$\widehat{f_{s}}(t)=\widehat{f\cdot Comb_{T}}(t)=\widehat{f}(t)\star \widehat{Comb_{T}}=\widehat{f}(t)\star Comb_{\frac{2\pi}{T}}(t)=$$

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\widehat{f}(t)\star\delta(t-k\frac{2\pi}{T})}$$

Inoltre vale $f(x)\star \delta (x-K)=f(x-K)$:

$$<f(x)\star \delta (x-K),\phi>=<f(x),<\delta (t-K),\phi(t+x)>>=$$

$$<f(x),<\delta (h),\phi(h+x+K)>>=<f(x),<\delta (h-(x+K)),\phi(h)>>=$$

$$<f(x),\phi(x+K)>=<f(x-K),\phi(x)>$$

Di conseguenza possiamo interpretare $\widehat{f_{s}}(t)$ come una sommatoria di copie traslate (di $-k\frac{2\pi}{T}$) di $\widehat{f}$. A questo punto appare chiaro come possa essere conveniente utilizzare la trasformata di fourier per analizzare le immagini digitalizzate. L'idea è di utilizzare la trasformata del campionamento per risalire alla funzione vera e propria.

Bisogna però fare attenzione, nell'immagine precedente le copie traslate della trasformata non si sovrappongono (vedi immagine in basso), ma questa è un'eventualità che può accadere. In tale caso non sarà possibile ricostruire la funzione $f$ di partenza.