Le difficoltà inerenti la reificazione

Perchè la reificazione è così difficile? Perchè i matematici stessi hanno impiegato vari secoli prima di arrivare ad una versione totalmente strutturale di concetti di base come quello di numero e quello di funzione?
Il problema appare più chiaro se ricordiamo che la reificazione è in realtà uno spostamento ontologico, un salto qualitativo nella natura del concetto (internamente dal soggetto). L'abilità di vedere qualcosa di familiare in una maniera totalmente nuova è sempre difficile da raggiungere. Le difficoltà che emergono quando un processo diventa oggetto sono, secondo Sfard paragonabili a quelle che emergono quando si passa da un paradigma scientifico ad uno nuovo; oppure, per fare un esempio più semplice, tali difficolta sono paragonabili agli ostacoli che ci troviamo davanti quando, guardando il disegno del cubo in 5, cerchiamo di interpretarlo come visto dall'alto oppure dal basso.

  

Figure 5: Il cubo: visto dall'alto o dal basso?

Seguendo il modello delle tre fasi che abbiamo dato, la reificazione di un processo avviene simultaneamente con l'interiorizzazione di processi di livello superiore. Ad esempio, nel caso dei numeri negativi, la reificazione avviene presumibilmente quando le operazioni su questo nuovo tipo di numeri sono, almeno in parte, interiorizzate. In effetti ciò che porta a riconoscere come numeri operazioni come 0-6 e 2-5 è la somiglianza tra gli algoritmi che coinvolgono tali operazioni e quelli effettuati su numeri più familiari (sommare e moltiplicare numeri negativi o altre quantità è molto simile al farlo con i numeri positivi). Ma per notare questa similitudine il soggetto ha bisogno di diventare in qualche modo abile nelle operazioni con i numeri negativi. Similmente, per vedere una funzione come un oggetto c'è bisogno di manipolarla come un tutt'uno: non c'è motivo di trasformare un processo in oggtoo finchè non dobbiamo effettuare qualche processo di livello superiore sul primo processo.
Siamo però ad un circolo vizioso: senza un tentativo di interiorizzazione a livello supriore la reificazione non può avvenire; d'altra parte l'esistenza di oggetti su cui agire tramite i processi di livello superiore sembra indispensabile per l'interiorizzazione, senza tali oggetti i processi in questione sembrerebberso sensa senso. In altri termini:
la reificazione di livello più basso, e l'interiorizzazione di livello superiore sembrano essere l'una prerequisito per l'altra.
Questo circolo vizioso può portare a situazioni di stallo, come ad esempio nel caso delle frazioni uno studente può essere in grado di farci delle operazioni, ma non riesce a vederle come numeri, ma solo come processi; in questo caso avrebbe interiorizzato i processi di livello superiore (somma e prodotto di frazioni, etc.), ma non reificato i processi di livello inferiore (divisione di interi) in un oggetto (numero razionale).
La questione di come stimolare il processo, e superare eventuali situazioni di stallo Sfard la lascia come aperta, osservo però che 6 anni più tardi pubblica [15] che affronta approfonditamente la questione, che non andiamo però a discutere dettagliatamente in questa sede in quanto porterebbe via troppo tempo, dato che l'articolo in question è di un centinaio di pagine. Possiamo però accennare che in tale articolo ([15]) troviamo:

• discussione su ``se sia opportuno dare subito un nome ad un processo, o se è meglio farlo solo dopo che lo studente vi ha preso confidenza'';
• raffina la descrizione della formazione dei concetti, più specificamente introduce l'idea di ``meccanismo a pompa'' per cui nuovi concetti matematici sono prodotti a partire dai vecchi.
• questa volta non usa la parola processi, ma usa la parola discorsi che appare più generale, ed include, ad esempio, anche le proposizioni!
• non parla più di reificazione ma di oggettificazione e descrive come essa avviene a partire dalla fase templates driven (vagamente corrispondente a quella preconcettuale, mi pare)
• Distingue tra realtà del mondo reale e quella virtuale, sostenendo che un concetto è oggettificato quando lo si tratta utilizzando paradigmi della realtà reale, come ad esempio quando i matematici usano parole come ``prendo'', ``sposto'', ``incollo'' etc. riferite a concetti matematici ma che sono tipiche della vita reale.
• da una griglia di comportamenti tipici del soggetto che ha oggettificato un concetto; una griglia che può essere usata per scopi di ricerca.

 

Table 2: Concezioni operative e strutturali: sommario

	Concezioni Operative	Concezioni Strutturali
Caratteristiche Generali	un'entità matematica è concepita come un prodotto di certi processi oppure è identificata con il processo stesso	un'entità matematica concepita cume una struttura statica, come se fosse realmente un oggetto
Rappresentazione	rappresentazioni verbali	immagini mentali
Quando si trova?	si sviluppa all'inizio della formazione del concetto	evolve dalle concezioni operative
Ruolo nei processi	necessaria ma non sufficente, per imparare e nel problem-solving	facilita tutti i processi cognitivi

 

  

Figure 6: Esperimento parte 2