Introduzione

Da un punto di vista matematico un'immagine in bianco e nero può essere vista come una funzione $f:I\times I\subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow I \subseteq\mathbb{R}$, dove $f(x,y)\in I$ rappresenta il livello di grigio associato al punto $(x,y)\in I\times I$ (abbiamo assunto che l'immagine sia quadrata). Equivalentemente possiamo interpretare matematicamente suoni, immagini a colori, immagini tridimensionali:

• Immagine a colori:
  $$f(x,y):I\times I\rightarrow I_{R}\times I_{G}\times I_{B}=I^{3}$$
  dove $I_{R}, I_{G}, I_{B}$ rappresentano rispettivamente i livelli di rosso, verde e blu che costituiscono il color in un punto dell'immagine;
• Immagine tridimensionale (es. TAC):
  $$f(x,y,z):I\times I\rightarrow I^{3}$$

• Immagine monodimensionale (ex. suono):
  $$f(x):I \rightarrow I$$

La versione digitalizzata di una immagine (ad esempio acquisita con uno scanner), quella che effettivamente vediamo sul monitor, interpretata nello stesso modo, appare come una funzione $f:I\times I\rightarrow I$ a gradini, dove l'alteza di ogni gradino corrisponde all'intensità di grigio (per semplicità trattiamo immagini in bianco e nero). In sostanza l'immagine originale viene suddivisa in tanti quadratini (segmenti nel caso del suono) e si individua il livello di grigio $f(x)$ nel punto $x$ centrale di ogni quadratino. L'immagine digitalizzata corrisponde quindi ad una matrice $n\times n$, se l'immagine era quadrata ed era stata suddivisa in n*n quadratini, dove i coefficenti corrispondo ai livelli di grigio $f(x)$ rilevati nei rispettivi quadratini dell'immagine originale. Quando l'immagine viene mostrata su uno schermo, essa viene ricostruita appunto come funzione a gradini dando ad ogni quadratino il corrispondente livello di grigio.
Appare subito evidente che in tutti questi passaggi molte informazioni sull'immagine vanno persi. Intanto non vengono acquisiti tutti i valori della funzione $f$, ma solo un numero finito. Tanto più fine è la duqadrettatura dell'immagine, tante più informazioni si acquisiscono; di conseguenza si apre la questione di scegliere quanti campioni della funzione acquisire in modo da ottenere una buona rappresentazione senza troppi costi di computazione. L'ideale sarebbe saper ricostruire tutta la funzione $f:I\times I\rightarrow I$, ma come vedremo questo è possibile solo in teoria.
In questo seminario tentiamo di affrontare il problema da un punto di vista teorico, ma cercando di enunciare i risvolti pratici di quanto trovato. In particolare tratteremo un altro tipo di ``errore'', ovvero l'aliasing, fenomeno per cui sull'immagine acquisita si trovano ``oggetti'' non presenti in quella originale. Le tecniche che enunceremo possono essere utilizzate anche per la pulizia dell'immagine da ``rumori''.
Richiameremo gli strumenti matematici necessari via via che serviranno. In particolare, dal punto di vista matematico tratteremo il caso di immagini monodimensionali per smeplicità ; il caso a più dimensioni può essere trattato in maniera analoga.